Święcenia kapłańskie Dąbrowski przyjął jako kleryk zgromadzenia ks. orionistów (FDP) 10 czerwca 1945 roku w Rokitnie pod Warszawą z rąk bp. Szlagowskiego, a sakrę biskupią 25 marca 1962 w katedrze warszawskiej z rąk kard. S. Wyszyńskiego, bp. F. Korszyńskiego i bp. Z. Choromańskiego. Jego nominacja biskupia nosiła datę 24 listopada 1961, ale została ogłoszona 17 stycznia 1962. Jako hasło biskupie przyjął "Instaurare omnia in Christo" (Odnowić wszystko w Chrystusie). Od 1969 roku, jako sekretarz Konferencji Episkopatu Polski (był nim do 1993), zaangażowany w polskie życie polityczne. Uczestniczył w rozmowach w Magdalence, rozmowach Okrągłego Stołu oraz negocjacjach między przedstawicielami władz a działaczami związkowymi. Ponad 250 razy był przyjmowany na comiesięcznych audiencjach przez kolejnych papieży, w trakcie których informował o bieżącej sytuacji Kościoła w Polsce.